Título: Un recorrido por el significado geométrico de las ecuaciones diferenciales
21 de abril , 16:00 horas
Conferencista: Jessie Diana Pontigo / IMUNAM
Resumen:
Las ecuaciones diferenciales surgen del deseo por entender el movimiento de los objetos. Durante los siglos XVII al XIX hubo un auge por tratar de desarrollar métodos para encontrar sus soluciones. Esto continuó hasta que a mitad del siglo XIX J. Liouville demostró que no para todas las ecuaciones diferenciales es posible dar una expresión explícita (en funciones elementales) de sus soluciones. Para solventar esta dificultad, H. Poincaré ideó otro enfoque para entender a las soluciones sin necesidad de utilizar una expresión explícita de éstas. Esto consistía en estudiar a la ecuación por sí misma y a partir de ahí descifrar el comportamiento geométrico de las soluciones.
Parte de la motivación para este estudio cualitativo fue el querer entender el movimiento de los cuerpos celestes. A este respecto, Poincaré señaló que podemos preguntarnos si uno de estos cuerpos permanecerá siempre en alguna región determinada del espacio, o si se alejará indefinidamente, o si la distancia entre dos cuerpos disminuirá o tenderá a infinito, etc, uno puede plantear miles de preguntas de este estilo, pero todas se resolverán cuando sepamos construir cualitativamente la trayectoria de los cuerpos involucrados.
En este enfoque cualitativo de las ecuaciones diferenciales se conjugan varias áreas de la matemáticas como lo son la topología, el análisis, el álgebra, la geometría compleja, etc. Dentro de esta plática daremos un panorama general del desarrollo de este enfoque. Mencionaremos algunos de los teoremas básicos y algunos problemas relacionados con líneas de investigación actuales.
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